考研数学>高等数学#2016考研究生高数考前须知定理#函数与极限

类目：三人行考研网>考研数学>高等数学>正文

时间：2016-11-0918:25:12

目前距离2016考研初试仅剩一个月的时间了，考试的紧张气氛也越来越浓 ，表面淡定的考生内心肯定也已经开始“上蹿下跳
”
，这都是正常现象
。为帮助同学们更好的冲刺2016考研，三人行考研网特别编辑整理了2016考研高数考前定理系列文章。今天 ，我们给大家编辑整理的是函数与极限的相关定理
，详情如下：

函数与极限

1、函数的有界性在定义域内有f(x)&geK1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界如果有f(x)&leK2 ，则有上界
，K2称为上界 。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界
。

2 、数列的极限定理(极限的唯一性)数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界 。

如果数列xn无界 ，那么数列xn一定发散但如果数列xn有界
，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1 ，-1，1
，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散 ，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件
。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列xn收敛于a
，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的 ，如数列1
，-1，1 ，-1
，(-1)n+1…中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于-1 ，xn却是发散的同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3
、函数的极限函数极限的定义中0

定理(极限的局部保号性)如果lim(x&rarrx0)时f(x)=A
，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立 。

函数f(x)当x&rarrx0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等 ，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在
。

一般的说
，如果lim(x&rarr&infin)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x&rarrx0)f(x)=&infin ，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线 。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小定理如果F1(x)&geF2(x)
，而limF1(x)=a，limF2(x)=b ，那么a&geb.

5 、极限存在准则两个重要极限lim(x&rarr0)(sinx/x)=1lim(x&rarr&infin)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列xn
、yn、zn满足下列条件：yn&lexn&lezn且limyn=a
，limzn=a，那么limxn=a ，对于函数该准则也成立
。

单调有界数列必有极限。

6 、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义
，如果函数f(x)当x&rarrx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0) ，即lim(x&rarrx0)f(x)=f(x0)
，那么就称函数f(x)在点x0处连续 。

不连续情形：1
、在点x=x0没有定义2、虽在x=x0有定义但lim(x&rarrx0)f(x)不存在3 、虽在x=x0有定义且lim(x&rarrx0)f(x)存在，但lim(x&rarrx0)f(x)&nef(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点 ，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点
，不相等者称为跳跃间断点)
。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。

定理有限个在某点连续的函数的和
、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数 。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy=y|y=f(x) ，x&isinIx上单调增加或减少且连续
。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。

定理(大值小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有大值和小值 。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点
，那么函数在该区间上就不一定有大值和小值
。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m&lef(x)&leM.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续
，且f(a)与f(b)异号(即f(a)&timesf(b)

推论在闭区间上连续的函数必取得介于大值M与小值m之间的任何值。

以上就是三人行考研网给大家编辑整理的2016考研高数考前重要定理，希望对部分考生的考前冲刺有所帮助 。

2016考研倒计时的钟声已经敲响 ，考生只有做好充分准备才能赢得胜利
，在此阶段考生们要保持良好的心态，全身心的投入到考研这场战役中去
。三人行考研网特为广大学子推出2016考研 、系列备考专题 ，针对每一个科目要点进行深入的指导分析
，欢迎各位考生了解咨询。同时，三人行考研网一直为大家推出 ，足不出户就可以边听课边学习，为大家的考研梦想助力！