考研数学>高等数学#2016考研究生数学#函数连续性的定义

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时间：2016-06-2014:31:27

说起连续 ，首先我们的头脑里要有一幅图画
，因为在高等数学里面，所有的概念都是经过极限来定义的 ，而这会对我们的理解造成障碍。所以，我们需要借助图像
，把抽象化的东西具体化 。比如说，给出一个坐标轴 ，要画出一条连续的曲线出来
，应该怎么做?其实，方法很简单
。我们只需把笔放到纸上 ，只要保证在整个画的过程当中
，笔不离开纸，随便怎么画 ，得到的曲线都是连续的。所以说
，连续很简单，连续就是不间断 。

然后 ，我们从数学的角度来来认识一下连续。连续
，一定是经过极限去定义的
。首先，我们先来研究一下函数在一点处的连续。如果 ，我们在一条连续的曲线上面取一点x0，在这条曲线上面
，我令x&rarrx0 。我们会发现，不管x是从左边趋近于x0 ，还是从右边趋近于x0
，两边的极限都都等于函数在这一点的函数值f(x0)
。如果是这样的话，我们就称函数在点x0处连续连续的数学定义就是：假设函数f(x)在x=x0的某邻域内有定义 ，并且
，，则称函数f(x)在x=x0处连续。　　所以 ，到现在为止
，提到连续，我们要想到两个东西：首先 ，从图像上看
，连续就是不间断，连续就是连续其次 ，从数学定义上看，只要这个式子成立
，就叫连续 。这两点之间的关联，同学们要记清楚
。其实 ，在考试里面
，要掌握这个概念，很关键的一点是 ，我们在前面讲的极限的概念和求极限的基本方法
，你要熟练。所以，连续这个概念的根本还是在极限 。

这是我们对于连续这个概念的一个相对比较初步的认识 ，原则上来讲
，我们理解了这个也就够了
。但是，我们还可以做进一步的阐释。所谓函数在x0点连续 ，指的是这个等式要成立 。但是
，我觉得对于这个等式，你要读懂它的意思
。一旦一个定义式里面提到极限 ，就会牵涉到这个极限到底存不存在。因为，我们在求极限时
，有些时候极限存在，有些时候极限不存在 。所以 ，这个等式左边的极限
，可能存在也可能不存在。要想让这个等式成立，首先得保证这个极限是存在的 ，然后
，还得有这个极限值等于x0点的函数值
。

我们知道，函数在一点处的极限存在 ，其实是要求它的左、右极限都存在且相同。所以说
，连续性的定义还可以这样去表达：

认识到这一点，才算是真正的理解了函数的连续性 ，这对我们后续的解题或者对我们理解这块的内容有两个方面的意义 。首先
，有些时候，我们是需要分别计算左 、右极限的
。也就是说 ，一提到函数f(x)在x0这一点连续，我们需要把两个东西反应出来：第一
，要把这个式子反应出来；其次，还应该把这个式子反应出来。当然 ，这两个式子是完全等价的
，具体用哪个，就取决于函数在这一点的极限需不需要分左右去算 。到现在为止 ，对函数连续性这个概念
，我们就从这两方面去掌握就可以了
。

当然了，第二个意义是什么呢?我们发现 ，函数在一点处连续
，要求左
、右极限都要存在并且都要等于函数值，这个条件其实相对来说有点过于苛刻了 ，很多时候
，我们的函数可能不能完全满足，有可能只满足一部分。比如说 ，有些时候，我们会发现
，左极限是等于函数值的，这个叫函数f(x)在x0处左连续 。类似的 ，我们可以定义右连续
。

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