考研数学>高等数学#从高数知识框架看定积分学习方法

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时间：2014-08-0713:42:51

大家也非常熟悉了
，我们还是先看一下高等数学的整体框架：

我们可以看到：在学习定积分之前，我们首先学习了不定积分。很多同学把不定积分与定积分搞混淆 。其实不定积分是导数的逆运算 ，本质还是导数的延伸
。而真正的积分部分是定积分。在此
，跟大家提供如下学习建议：

1.明晰知识体系

在讲定积分的时候，我又回归到原来的讲法：从知识体系讲起 。因为定积分这章非常重要 ，考试考查的内容多而广。这章包括：定积分的定义，性质微积分基本定理反常积分定积分的应用
。这四个部分各有侧重点。其中定积分的定义是重点要理解微积分基本定理要掌握定积分在几何和物理上面的应用 。至于反常积分大家了解就行了
。

2.深刻理解知识点

在掌握了知识体系之后
，自然就需要明确具体的重点知识点了。首先是定积分的定义及性质 。大家需要深刻理解定积分的定义
。我觉得同学们不仅要会用自己的话来表述定义，而且要一步一步的写出精髓。比如说从定义中体现的思想：微元法 。同学们要理解分割 ，近似
，求和，取极限这四个步骤
。同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。对定积分定义的考察在每年考研中是重要内容 。所以希望引起大家的足够重视
。至于性质 ，大家关键也在于理解。特别是区间可加性比较定理积分中值定理 。对这三个性质大家一定要知道是怎么来的。考研中有关积分的证明题多多少少会用到这三个性质
。所以大家只有理解了才懂得在什么时候用。然后是微积分基本定理 。这个知识点非常重要
。因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。而且在一定的条件下
，它的导数就是f(x) 。所以我们扩展了函数类型
。那么导数应用中的切线与法线单调性极值凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。同时提出了牛顿-莱布尼茨公式，使得我们可以用不定积分来计算定积分 。希望同学们要掌握牛顿-莱布尼茨公式的证明过程
。补充说一点：求定积分常用的方法是基本积分公式换元积分法(凑微分法和换元积分法)分部积分法。其中换元积分法和分部积分法是重点 。大家要理解换元积分法的思想
。即我们通过复合函数求导公式推出了凑微分法通过三角代换 ，根式代换等提出了换元积分法。而我们通过相乘函数的导数公式推出了分部积分法 。所以大家只有知道这些方法是怎么来的才能更好的使用这些方法。接着大家要注意变限积分求导了
，最好请大家自己证明下
。第三个要说的是反常积分。对这一部分，同学们了解基本定义 ，会用定积分判断是否收敛就够了 。最后
，是定积分的应用
。其实就是微元法在几何以及物理上面的应用。同样的，同学们要知道数学一 ，数学二，数学三的区别 。在几何上
，数学三只用掌握用定积分求面积和简单几何体的体积
。而数学一和数学二还要求掌握用定积分求曲线弧长，旋转曲面面积。在物理应用方面 ，数学一和数学二主要掌握用定积分求变力沿直线做功
，抽水做功，液太静压力和质心问题 。但核心是 ，同学们一定要掌握微元法的思想
。

3.适量习题

在大家理解了重点知识以及明确了考试重点后就需要做题巩固了。在这里
，我坚决反对题海战术 。因为大家的时间有限并且题海战术在没理解知识点之前是没用的
。现在社会做事情都讲究高效，我希望大家能够事半功倍。那么针对定积分这章 ，大家先针对我说的重点知识进行做题巩固
，关键是每做一个题就要理解，要反思 ，要多想想考察了知识点那些方面 。然后对次重点知识辅助做一些题
，了解就够了。

总之，希望大家经过这三个步骤能够学习好定积分 ，为以后的高等数学的复习打好基础
。祝大家考研顺利，马到成功!