考研数学>线性代数#2016考研究生同济五版*线性代数*习题解读[三]

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时间：2016-06-1813:57:10

前面给大家推荐了三人行考研网总结的考研数学线代知识的完整框架
，今天分享后续的内容，即线性代数习题的深度解读
。

1
、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形 ，基本运算的练习
，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习 ，需纯熟掌握。

2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵
，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程 ，对应的是一系列初等矩阵的乘积
，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了 。要知道一个初等矩阵对应一个初等变换 ，其逆阵也是
，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题
。

4 、求矩阵的逆阵的第二种方法(第一种是伴随阵)，基本题 ，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚(书上相应章节有解释)，即为什么可以过这两种方法求逆阵。

5
、6是解矩阵方程
，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了 ，选择自己习惯的做法即可 。

7、考察矩阵秩的概念
，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的高阶数
。所以秩为r的话只需要有一个不为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零至于r-1阶子式 ，也是有可能为零的
，但不可能所有的都为零，否则秩就是r-1而不是r了。

8 、还是涉及矩阵的秩 ，矩阵减少一行
，秩最多减1，也可能不减 ，不难理解
，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚 。

9
、主要考查矩阵的秩和行(列)向量组的秩的关系，实际上它们是一致的 ，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量
，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵 ，所以还要找一个向量
，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了
。

10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念 ，它能够反映一个矩阵的最主要信息
，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。矩阵的初等行(列)变换都不会改变其秩，所以可以混用行 、列变化把矩阵化为最简形来求出秩 。

11题是一个重要命题 ，经常可以直接拿来用
，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到 ，而初等变换是不改变矩阵的秩的
，所以等价则秩必相等
。实际上11题因为太过常用，以至于我们常常认为秩相等才是等价的定义 ，不过既然是充分必要条件，这样理解也并无不可。

12
、选取合适的参数值来确定矩阵的秩
，方法不止一种，题目不难但比较典型 。

13、14题是求解齐次 、非齐次方程组的典型练习 ，务必熟练掌握。

15
、线性方程组的逆问题
，即已知解要求写出方程，把矩阵的系数看做未知数来反推即可 ，因为基础解系中自由未知量的个数和有效方程正好是对应的
，个人感觉这类题不太重要
。

16、17 、18题是线性方程组的一类典型题，考研常见题型 ，讨论不同参数取值时解的情况
，要熟练掌握这类题目。

19、证明本身不是很重要，重要的是由题目得到的启示：由一个向量及其转置(或一个列向量一个行向量)生成的矩阵其秩一定是1 。这实际上也不难理解 ，矩阵的秩是1意味着每行(或每列)都对应成比例
，即可以写成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系数 ，反过来也一样，这个大家可自行写一些具体的例子验证
，加深印象
。另外值得注意的是：列向量乘行向量生成的是矩阵，而行向量乘列向量生成的是数。

20
、考察的是矩阵的运算对矩阵秩的影响 ，抓住R(AB)〈=min(R(A)
，R(B))这个关键命题即可 。或者从同解方程组角度出发，即要证明两个矩阵秩相等 ，可证其方程组同解
。

21、注意A是否可逆未知
，故不能用求逆的方法证明，这是易犯的错误之一。实际上该题考察的还是方程组只有零解的条件：满秩 。关键一步在于把条件改写为A(X-Y)=0

前两章的习题以锻炼计算能力为主 ，从第三章开始理解层面的内容逐渐增多
，很多概念要引起重视
。