联考综合>初等数学#联考数学复习指导#数列之无敌解法

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时间：2016-06-1811:40:29

基本数列是等差数列和等比数列

一
、等差数列

一个等差数列由两个因素确定：首项a1和公差d.

得知以下任何一项，就可以确定一个等差数列(即求出数列的通项公式)：

1、首项a1和公差d

2 、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)

3
、任意两项a(n)和a(m) ，n,m为已知数

等差数列的性质：

1、前N项和为N的二次函数(d不为0时)

2 、a(m)-a(n)=(m-n)*d

3
、正整数m、n 、p为等差数列时
，a(m)
、a(n)、a(p)也是等差数列

例题1：已知a(5)=8,a(9)=16,求a(25)

解：a(9)-a(5)=4*d=16-8=8

a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40

a(25)=48

例题2：已知a(6)=13,a(9)=19,求a(12)

解：a(6) 、a(9)
、a(12)成等差数列

a(12)-a(9)=a(9)-a(6)

a(12)=2*a(9)-a(6)=25

二、等比数列

一个等比数列由两个因素确定：首项a1和公差d.

得知以下任何一项，就可以确定一个等比数列(即求出数列的通项公式)：

1 、首项a1和公比r

2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)

3
、任意两项a(n)和a(m) ，n,m为已知数

等比数列的性质：

1、a(m)/a(n)=r^(m-n)

2 、正整数m
、n、p为等差数列时
，a(m) 、a(n)
、a(p)是等比数列

3、等比数列的连续m项和也是等比数列

即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)构成的数列是等比数列。

三 、数列的前N项和与逐项差

1
、如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P ，则数列的前N项和是关于N的多项式
，最高次数为P+1 。

(这与积分很相似)

2、逐项差就是数列相邻两项的差组成的数列
。

如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P ，则数列的逐项差的通项公式是关于N的多项式
，最高次数为P-1。

(这与微分很相似)

例子：

1，16 ，81，256
，625，1296(a(n)=n^4)

15,65,175,369,671

50,110,194,302

60,84,108

24,24

从上例看出 ，四次数列经过四次逐项差后变成常数数列 。

等比数列的逐项差还是等比数列

四 、已知数列通项公式A(N)
，求数列的前N项和S(N)
。

这个问题等价于求S(N)的通项公式，而S(N)=S(N-1)+A(N) ，这就成为递推数列的问题。

解法是寻找一个数列B(N)
，

使S(N)+B(N)=S(N-1)+B(N-1)

从而S(N)=A(1)+B(1)-B(N)

猜想B(N)的方法：把A(N)当作函数求积分，对得出的函数形式设待定系数 ，利用B(N)-B(N-1)=-A(N)求出待定系数 。

例题1：求S(N)=2+2*2^2+3*2^3+...+N*2^N

解：S(N)

=S(N-1)+N*2^N

N*2^N积分得(N*LN2-1)*2^N/(LN2)^2

因此设B(N)=(PN+Q)*2^N

则(PN+Q)*2^N-[P(N-1)+Q)*2^(N-1)=-N*2^N

(P*N+P+Q)/2*2^N=-N*2^N

因为上式是恒等式
，所以P=-2，Q=2

B(N)=(-2N+2)*2^N

A(1)=2 ，B(1)=0

因此：S(N)=A(1)+B(1)-B(N)=(2N-2)*2^N+2

例题2：A(N)=N*(N+1)*(N+2)
，求S(N)

解法1：S(N)为N的四次多项式，

设：S(N)=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E

利用S(N)-S(N-1)=N*(N+1)*(N+2)

解出A
、B、C 、D、E

解法2：

S(N)/3!=C(3 ，3)+C(4，3)+...C(N+2
，3)=C(N+3，4)

S(N)=N*(N+1)*(N+2)*(N+3)/4